sabato 13 maggio 2017

attenti al voto, roba scientifica, maneggiare con cura

Marie-Jean-Antoine-Nicolas de Caritat

marchese di Condorcet

noto come Nicolas de Condorcet
Se ti chiedo di scegliere tra Tizio, Caio e Sempronio votando un solo nome dei tre sto probabilmente manipolando il tuo voto.
Ti sei mai chiesto perché devi dare un solo voto? No, perché è una cosa che sei abituato a fare da sempre senza chiederti perché.
Eppure oggettivamente oltre a preferire solo uno dei tre possono succedere altre cose. Per esempio non trovi differenze tra Tizio e Caio, oppure tra Sempronio e Tizio, o in nessuno dei tre, ma non puoi esprimere con un solo voto questa tua reale opinione, cioè quello che veramente pensi e preferisci.
Ci sono ben 13 possibilità su tre candidati.
  1. preferisco Tizio a Sempronio e Caio che per me sono uguali
  2. preferisco Tizio a Sempronio e Sempronio a Caio
  3. preferisco Tizio a Caio e Caio a Sempronio
  4. preferisco Sempronio a Tizio e Caio che per me sono uguali
  5. preferisco Sempronio a Tizio e Tizio a Caio
  6. preferisco Sempronio a Caio e Caio a Tizio
  7. preferisco Caio a Tizio e Sempronio che per me sono uguali
  8. preferisco Caio a Tizio e Tizio a Sempronio
  9. preferisco Caio a Sempronio e Sempronio a Tizio
  10. Tizio, Sempronio e Caio per me sono uguali
  11. preferisco Sempronio e Caio che per me sono uguali a Tizio
  12. preferisco  Tizio e Caio che per me sono uguali a Sempronio
  13. preferisco Tizio e Sempronio che per me sono uguali a Caio  
Se hai a disposizione solo un voto, devi indicare un solo nome, non potrai votare la 10 (Tizio, Sempronio e Caio sono uguali), se voterai Tizio non potrai esprimere una valutazione su Sempronio e Caio, cioè non potrai dire se li ritieni uguali 1) o se tra loro preferisci l'uno 2) o l'altro 3), non potrai neppure valutare Tizio a pari merito con Caio 12) e preferirli a Sempronio o a pari merito con Sempronio 13) e preferirli a Caio.
La cosa non è ininfluente sulla scelta collettiva.
Se 12 votanti esprimessero 5 voti a favore di Tizio, 4 a favore di Sempronio e 3 a favore di Caio, Tizio vincerebbe avendo riportato il maggior numero di voti. Ma è il candidato che ha ottenuto i maggiori consensi reali?

La risposta sembrerebbe si. E invece in casi come questo di regola non è così.
Intanto Tizio non ha la maggioranza (metà più uno, cioè 7) e se fosse possibile votare esprimendo una tra tutte le 13 possibilità sopra descritte le cose potrebbero andare in tutt'altro senso.
Se cinque persone votassero la possibilità 2 (preferisco Tizio a Sempronio e Sempronio a Caio), quattro persone la possibilità 6 (preferisco Sempronio a Caio e Caio a Tizio) e tre persone la possibilità 9 (preferisco Caio a Sempronio e Sempronio a Tizio) il vincitore non sarebbe Tizio, ma Sempronio perché in 9 su 12 voti sarebbe preferito a Caio.

Siamo di fronte ad un paradosso ( i matematici lo chiamano paradosso di Condorcet): Tizio è uno che non piace alla maggioranza assoluta dei votanti pur avendo ottenuto in una votazione tradizionale un numero maggiore di voti ( 5 voti) rispetto a Sempronio (4 voti) e rispetto a Caio (3 voti). Sintetizzo: le probabilità che l'esito del voto tradizionale (scegli un solo nome) coincida con l'esito del voto articolato (dimmi per ciascun candidato cosa pensi) sono bassissime se si tiene conto che le combinazioni possibili dei 13 elementi sono enormi.

Ringrazio i signori Tizio, Sempronio e Caio per la discreta collaborazione. Aggiungo che al loro posto si può mettere un partito da votare, una proposta di legge, una deliberazione del consiglio comunale o del condominio, la scelta del locale dove andare a cenare, la città dove andare in vacanza, la produzione di un bene destinato alla vendita e tutto quello che vi pare, quasi. Il ragionamento matematico non cambia, non contiene errori, è consistente (non contiene contraddizioni) ed è dimostrato e ridimostrabile infinite volte con un calcolo fatto di matrici e grafi (per coloro che sanno cosa siano). 

La faccenda porta ad almeno una considerazione: se esistono due metodi di votazione uno dei quali è debole (perché può produrre contraddizioni, paradossi) perché usarlo? Se volessi far vincere Caio userei il metodo tradizionale manipolando in tal modo le espressioni di voto, se invece non voglio manipolare nulla e preferisco far vincere chi ha congiuntamente i maggiori consensi e minori dissensi, allora userò il metodo Condorcet. Tutta una questione di scelte.



The ranked ballots:
5:tizio>sempronio>caio
4:sempronio>caio>tizio
3:caio>sempronio>tizio
The pairwise matrix:
against
caio
sempronio
tizio
for
caio
3
7
sempronio
9
7
tizio
5
5
sempronio is the Condorcet winner.
La matrice mostra quante volte ciascun candidato è stato preferito ad un altro, non quanti voti ha preso.